Séminaire : A propos de la dynamique non régulière

Par Alain Léger
Directeur de Recherche au CNRS
Contact : leger@lma.cnrs-mrs.fr

Mercredi 28 mars 2018 à 14h00
IEMN Ampli LCI – Villeneuve d’Ascq

Abstract :

Cet exposé va présenter quelques aspects, d’abord introductifs, puis plus récents de la mécanique non régulière. Nombre de situations, conditions au bord ou lois de comportement, fournissent des exemples de non régularité en mécanique. On se concentrera principalement sur le cas du contact et du frottement mais plusieurs aspects fondamentaux seraient identiques dans les cas de la plasticité, de l’endommagement, etc… Dans tous les cas l’introduction de conditions non régulières en mécanique des milieux continus conduit à des problèmes mathématiques ouverts et difficiles. On essaiera pour cela de préciser minutieusement l’état des lieux, en forme de liste des problèmes résolus ou ouverts, afin que soient clarifiées les situations où il est légitime ou non d’utiliser des résultats dans différents domaines de la physique, et l’on observera que ce sont alors des modèles simples qui, pour autant qu’ils soient bien choisis, apportent des informations qualitatives là où des modèles plus proches de la physique seraient inaccessibles.

On rappellera que la non régularité supprime la possibilité de se référer au cadre classique de la théorie des équations différentielles ou aux dérivées partielles. Après quelques résultats, énoncés dans le cas d’un système mécanique très simple mais généralisables à tous les problèmes discrets, une partie importante de l’exposé sera consacrée à l’étude de la réponse à une sollicitation périodique comme cela est classique dans l’étude qualitative des systèmes dynamiques.

Dans un premier temps le système mécanique sera linéaire, ce qui en rendra les résultats utilisables qualitativement dans nombre de domaines de physique, d’acoustique ou de vibrations. Une attention particulière sera portée à la transition entre des zones de comportements différents, et l’on notera qu’aucune transition au chaos n’est observée lorsque la seule non linéarité est due au contact et au frottement. Dans un deuxième temps on ajoutera une non linéarité régulière de type grandes déformations. On verra alors que la réponse peut comprendre des zones de comportement non périodique, ce qui amènera, en conclusion, à interroger le couplage entre différents types de non linéarités.